Euler #35

https://projecteuler.net/problem=35

La (pequeña) dificultad de este problema consiste en calcular todas las posibles rotaciones de un número. La sintaxis de Python hace muy cómoda esta tarea.

import sympy

def check_rotations(number):
 all_primes = True
 number_str = str(number)
 number_str = number_str[1:] + number_str[:1]
 while int(number_str) <> number:
  if not sympy.isprime(int(number_str)):
   all_primes = False
   break
  number_str = number_str[1:] + number_str[:1]
 return all_primes

circular_primes = []
for n in range(1, 1000000):
 if sympy.isprime(n) and check_rotations(n):
  circular_primes.append(n)

print circular_primes
print len(circular_primes)

Puntos a destacar:

• sympy es una librería de Python especializada en matemáticas con símbolos (polinomios, resolución de ecuaciones, matrices,...) En nuestro script simplemente utilizamos la función isprime() para comprobar si el número es primo. Podríamos haber reutilizado alguna de las funciones que ya escribimos en problemas anteriores.
• La expresión "cadena"[1:] devuelve todos los caracteres exceptuando el primero: "adena"
• La expresión "cadena"[:1] devuelve el primer caracter, podríamos haber escrito también "cadena"[0]
• La sintaxis de subíndices de Python garantiza siempre que s == s[:i] + s[i:] 

Una posible optimización es recorrer solo los números impares, fijando 2 como único par a incluir:

circular_primes = [2]
for n in range(3, 1000000, 2): # El tercer parámetro de range es "step"

Euler #34

Tras un largo parón, otro problema del proyecto Euler, de nuevo lo solucionamos con Python. Tratando los números como cadenas de texto y convirtiendo los dígitos de nuevo a enteros el problema es muy sencillo de resolver.

https://projecteuler.net/problem=34

def fact(n):
 if n <= 1:
  return 1
 else:
  return n * fact(n - 1)

candidates = []
n = 3
while True:
# print "Analizyng", n
 n_str = str(n)
 partial_sum = 0
 for digit in n_str:
  partial_sum += fact(int(digit))
 if partial_sum == n:
  candidates.append(n)
 if n > 1000000:
  break
 n += 1

#print candidates
print sum(candidates)

Euler #33

https://projecteuler.net/problem=33

De nuevo, la facilidad que ofrece Python para pasar de unos tipos a otros y los módulos estándar que trae hacen que este problema sea trivial.

Se puede compactar más la solución, pero así se ve claro cómo vamos filtrando poco a poco los números candidatos hasta llegar a la solución. También ayuda mucho el enunciado del problema, estableciendo cuántos resultados son esperables.

#!/usr/bin/env python
from fractions import Fraction
from operator import mul

fracts = []
for d in range(10, 100):
 for n in range(10, 100):
  if n / d < 1 and n % 10 != 0 and d % 10 != 0:
   num = str(n)
   den = str(d)
   for x in range(1, 10):
    xstr = str(x)
    if (num[0] == xstr and den[1] == xstr) or (num[1] == xstr and den[0] == xstr):
     new_n = int(num.replace(xstr, '', 1))
     new_d = int(den.replace(xstr, '', 1))
     if (new_n * d == new_d * n):
      fracts.append(Fraction(new_n, new_d))

print reduce(mul, fracts, 1)

La función "reduce" es muy útil para operar con listas en bloque. Es un atajo para no tener que escribir bucles:

tot = 1
for f in fracts:
    tot *= f
print tot

Así mismo, la clase Fraction es lo suficientemente inteligente para lidiar con enteros, operar con fracciones, simplificarlas,...

Euler #32

Llevaba bastante tiempo parado con la resolución de problemas del proyecto Euler.
Vamos con el número 32. La resolución con Python es muy fácil convirtiendo enteros en "strings":

#!/usr/bin/env python

numbers = []

for a in range(9999):
  for b in range(9999):
    p = a*b
    asString = str(a) + str(b) + str(p)
    if len(asString) > 9:
      break
    if len(asString) == 9 and \
     '1' in asString and \
     '2' in asString and \
     '3' in asString and \
     '4' in asString and \
     '5' in asString and \
     '6' in asString and \
     '7' in asString and \
     '8' in asString and \
     '9' in asString:
     if not p in numbers:
       numbers.append(p)
       print a, "*", b, " = ", p, " => ", asString

print sum(numbers)

Más conjuntos de Mandelbrot

En la anterior entrada vimos por encima qué era el conjunto de Mandelbrot y cómo se podía generar el gráfico. Recordamos que todo se basaba en la función generadora z²+c. Se puede cambiar la función y repetir el proceso con otras. Estudiemos otras variantes:

• (z+c)(z-c)
• z³+c
• z⁴+c

Para implementar estas nuevas funciones, dado que hay que hacer algunas operaciones un tanto tediosas, pensé en utilizar alguna librería Javascript que facilitase el trabajo con números complejos. Probé Mathjs, pero es demasiado lenta, así que se ha quedado todo como Javascript plano.


De nuevo, obtenemos unos bonitos fractales.

(z+c)(z-c)

z³+ c

z⁴+c

En esta página tenemos el código modificado:

https://david-aa.github.io/math/mandelbrot.html